Processo Prático para Determinação do MMC

Decomposição em fatores primos simultaneamente

Neste processo vamos decompor simultaneamente os números envolvidos em fatores primos.

Regra: Decompõem-se simultaneamente os números em fatores primos comuns e não comuns, sucessivamente, até encontrar todos os quocientes iguais a 1. Em seguida, multiplicam-se os fatores obtidos.

Vejamos exemplos!

Exemplo 1: determine o MMC entre 60 e 315.

Vamos decompor os números simultaneamente, mas lembre-se que somente fatores primos serão considerados.

Veja acima na decomposição que:

– na primeira divisão, apenas o 60 é divisível por 2.

– Novamente, somente o 30 é divisível por 2. Veja que, como o 315 não é divisível por 2, estamos somente repetindo.

– Na terceira etapa, perceba que 15 e 315 são divisíveis por 3. E daí obtém-se quocientes 5 e 35.

– Na quarta, 5 e 35 são divisíveis por 5. Na próxima etapa, sobra o 7, pois já obtemos quociente 1 “para o 60”, portanto 7 é divisível por 7 e obtemos quociente 1 “para o 315”.

Agora vamos fazer o produto dos fatores primos obtidos.

2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 7 = 1260.

Logo, o MMC (60,360) = 1260.

Viu como é simples! 

Uma pergunta antes de mais um exemplo:

Poderíamos ter começado nossa divisão pelo fator 3 (ou 5 ou 7), por exemplo?

A resposta é sim! No momento da decomposição, a ordem da fatoração não importa, já que faremos o produto dos fatores e a ordem dos fatores não altera o produto. Veja, você poderia ter feito da maneira abaixo que chegaria ao mesmo resultado.

Observe que são os mesmos fatores (e quantidade), logo o resultado do MMC é o mesmo!

Vamos a mais um exemplo! 

Exemplo 2: determine o MMC (36,48,90).

Vamos decompor simultaneamente!

Agora, vamos fazer o produto dos fatores.

MMC(36,48,90) = 2⁴ x 3² x 5 = 720. Pronto, mais um exemplo concluído!

Se tiver dúvida, comente!

Antes de passarmos para os exercícios, vejamos duas dicas rápidas para casos específicos de cálculo do MMC.

Dicas para Casos Específicos de Cálculo do MMC

Dica 1: dados dois ou mais números primos entre si,  o MMC é o produto deles.

Por exemplo, 10 e 7 são números primos entre si, logo o MMC (7,10) = 7×10 = 70.

Dica 2: dados dois ou mais números em que o maior é múltiplo dos outros, o MMC é o maior deles.

Por exemplo, qual o MMC (20, 80)? Repare que 80 é múltiplo de 20, logo “sem medo de errar” o MMC (20,80) = 80. 

Se está desconfiado, faça o cálculo! 

Já aprendeu a calcular o MMC, certo? Ok! Vamos aos exercícios.

Com base no que você aprendeu nesta aula e na anterior, resolva as questões abaixo.

1. Calcule o MMC entre os números dados abaixo.

a) 20 e 25                  b) 11, 33 e 44                  c) 12, 45, 96 e 180

2. Qual é o menor número divisível por 12, 20 e 25?

Processo Prático para Determinação do MDC

Por divisões sucessivas ou algoritmo de Euclides

Regra: divide-se o número maior pelo menor. Se a divisão for exata, o mdc será o menor deles. Se a divisão não for exata, divide-se o menor pelo resto e assim sucessivamente, até encontrar uma divisão exata (resto zero). O último divisor será o mdc.

Exemplo 1: determine o mdc (81, 27).

Observe acima o algoritmo de Euclides, onde temos os divisores, quocientes e restos. Neste caso ao dividirmos o maior (81) pelo menor (27) encontramos resto 0 (zero), portanto de acordo com a regra, o mdc (81,27) = 27.

Este caso é óbvio, não! É possível verificar logo de “primeira” que 81 é divisível por 27!

Vamos ver outro exemplo!

Exemplo 2: determine o mdc (120,300).

Procedendo conforme o algoritmo de Euclides.

Observe, 300 dividido por 120 “dá” 2 no quociente e 2 “vezes” 120 é igual a 240, 240 “para” 300 “faltam” 60. Isto é, 300 dividido por 120, temos quociente 2 e resto 60. Agora, o novo divisor é o resto anterior, ou seja, 60.

Prosseguindo, 120 dividido por 60, “dá” quociente 2 e resto 0. Pronto, encontramos resto 0 (zero), logo o mdc (120,300) = 60.

Mais um exemplo, para aprender de uma vez por todas! 

Exemplo 3: determine o mdc (200, 144).

Este exemplo foi um pouco mais longo! Temos que o mdc (200, 144) = 8.

Percebeu como é simples determinar o mdc por este método? Lembre-se sempre, o último divisor é o mdc entre os números!